赵静(1981-), 女, 黑龙江哈尔滨人, 博士生, 主要研究领域为计算机图形学, 物理仿真
唐勇(1964-), 男, 博士, 教授, 博士生导师, CCF高级会员, 主要研究领域为虚拟现实技术及应用, 计算机仿真, 不规则自然景物的建模, 实时绘制
李胜(1974-), 男, 博士, 副教授, CCF高级会员, 主要研究领域为计算机图形学, 虚拟现实技术
刘学慧(1968-), 女, 博士, 副研究员, CCF高级会员, 主要研究领域为基于物理的模拟, 计算机图形学, 虚拟现实
汪国平(1964-), 男, 博士, 教授, 博士生导师, CCF高级会员, 主要研究领域为计算机图形学, 虚拟现实技术
本构模型是形变体仿真中最重要的因素之一,现有的基本本构模型的应力应变关系具有一定的局限性,形变行为比较单一.近年来,很多研究工作探讨如何设计更加复杂并满足设计师需求的材质模型.将材质模型分为3类:传统的具有单一材质属性的均质材质、具有复合结构的非均质材质以及根据基本材质模型通过编辑材质参数和结构以及编辑形变行为的材质模型.此外,梳理了近年来材质本构模型方面的研究成果,分类总结了相关技术及其优缺点,最后,讨论并指出形变体仿真中,本构模型应用与设计领域主要的技术挑战和需要进一步探索的方向.
The constitutive model is the most important factor in the simulation of deformable solids. The stress-strain relationship of the existing basic constitutive models have some limitations and the deformation behaviors are relatively simple. In recent years, a quantity of researches have been placed on how to design more complex material models to satisfy the designers' requirements. In this paper, the material model is divided into three categories:the traditional homogeneous materials with same material parameters of the whole model, heterogeneous materials with composite structures, and the editing models of the material parameters and structures and the elastic behavior editing models based on the existing traditional constitutive models. Additionally, the current material design methods are reviewed, and recent researches, with their advantages and limitations, are analyzed. Finally, the current major challenges and future works are discussed.
自然物体有各自鲜明、千姿百态的力学特性.如何逼真、高效地实现物体的物理仿真, 一直是图形学的重要研究方向之一, 此课题在交互式的虚拟现实、影视动画、游戏等领域有着重要和广泛的应用.其中, 弹性形变体的形变行为的模拟是物理仿真领域中一个非常重要的分支[
材料学为图形学形变体仿真提供了许多基本材料的本构方程, 包括各种线性模型以及非线性的材质模型, 如StVK(saint venant-kirchhoff), NeoHookean, Mooney-Rivlin等.除此之外, 物质世界还存在这样一类物质, 它们是由混合材质构造出来的, 比如混凝土等.为了更逼真地模拟这类物质的力学特性, 图形学研究者们提出了非均质材质的构造方法, 以获取混合材料物体的仿真模型.
从形变行为上分析, 基本的本构模型虽然可以模拟出现实世界中简单形变体的运动特征, 但由于其应力应变关系是恒定的, 所能调节的物质参数有限, 从而导致仿真的形变体只具有特定的运动规律, 形变简单, 无法获取丰富的视觉效果, 不利于游戏、影视动画等实际领域的应用.由此, 为获得更加复杂的本构模型, 依赖于传统材质, 产生了一系列研究方法, 如直接调整参数曲线改变传统的材质模型受力后的形变趋势.这种调节参数曲线的方式一定程度上提高了传统材质的形变范围, 但形变还是遵循运动规律, 不具有艺术指导效果, 无法获得夸张的形变效果.为了获得更自由的形变以满足设计师的动画模拟需求, 研究人员提出直接从设计形变效果的角度出发, 通过给定关键帧改变传统材质模型的形变轨迹, 使仿真模型能够获得更生动的动画效果.
本文第1节阐述形变体仿真中普遍采用的均质材质的几种基本本构模型的基本特性.第2节针对非均质材质的仿真方法进行归类, 梳理目前已有的研究思路和方法.第3节针对可编辑材质分类讨论, 一类是对材质的属性和结构的编辑方法, 另外一类通过编辑形变体的形变效果获得新的材质.第4节回顾现有的研究工作, 并针对几类典型的本构模型作对比分析.第5节对全文总结, 探讨在形变体仿真中材质本构模型的应用与编辑领域的研究方向.
特别需要指出的是, 本文侧重于讨论弹性形变行为, 即三维形变体在虚拟仿真中材质本构模型的应用与设计, 而不讨论当固体形变超过某个阈值时物体所体现出的塑性行为或者碎裂等现象.
虽然现实世界的模型多是非均质材质组成的, 但均质材质的形变体仿真更容易建模, 处理起来相对容易, 因此在图形学现有的研究中, 对均质材质模型仿真方法的研究占有很大比重.弹性材质模型在形变过程中应力所作的功仅与初始状态和最终状态有关, 而与形变过程无关.其本构关系描述的是固体在弹性形变时应力与应变之间的关系, 通常表示成形变体内单位体积存储的应变能或者弹性势能与应变关系, 这里列举了一些在图形学领域常用的均质材质的本构关系.
在所有材质模型中, 线性模型是最简单的本构模型, 应力张量和应变张量表示为线性关系
在最简单的情况下, 当形变体由各向同性材质构成时,
另外一种形式的本构关系用应变能量密度表示, 线性本构关系的应变能量密度为
其中,
因为计算效率高, 图形学中大量使用柯西应力表示的线性模型.但线性模型描述的应力应变关系是线性的, 所以它只能描述小形变, 无法表达较为复杂的运动, 且该模型不具有旋转不变性.
2002年, Müller等人[
共旋的线性弹性模型(corotational linear elasticity)[
共旋的线性弹性模型虽然可以一定程度上改善线性形变的不足, 但遇到大的拉伸形变或者压缩形变时, 还是受限于其线性的材质属性.若要更好地描述材质的非线性形变行为, 需要利用非线性的本构关系.
在非线性模型里, 有两类非线性:一种叫做几何非线性模型, 描述的是位移和应变张量的非线性关系; 另外一种是材质的非线性, 描述的是应变张量和应力张量的非线性关系.常用的应变张量有两种:一种是前文描述线性模型时提到的柯西应变张量, 另外一种是格林应变张量.根据格林应变张量的表达式, 其具有旋转不变性, 而柯西应变不具有这个特性.若用形变梯度表示, 格林应变表示为
经常用来模拟非线性的材质模型StVK材质模型[
还有另外一类常用的非线性模型, 如NeoHookean材质模型, 这种材质的应力张量和应变张量是非线性关系, 其能量密度表示为
除上述模型外, 图形学中还有一些常用的非线性材质模型, 如Mooney-Rivlin, Ogden, Yeohmo模型等[
基于四面体离散化方法的有限元仿真方法中, 当发生大形变或者仿真选取比较大的时间步长时, 四面体可能出现翻转的情况.即使针对不可压缩材料, 采用离散化的方式表示连续的物质, 由于离散化的误差也不能完全保证四面体单元是保体积的, 因此也会出现翻转的情况.
早期在质点弹簧系统中, 利用高度弹簧(altitude spring)解决翻转的问题[
以上方法都是利用形变梯度奇异值分解算法, 对形变梯度进行对角化检测单元是否翻转, 并通过截断或者线性外插的方式计算翻转状态下第一Piola-Kirchhoff应力.而Stomakhin等人[
具有翻转单元的armadillo模型的恢复[
Recovery of an armadillo model with inverted elements[
各向同性材质(isotropic material)表示材质在各个方向上抵抗外力产生的形变是一致的.若一个超弹性本构关系是各向同性的, 那么其应变能量密度函数应满足
对于各向同性的材料, 为避免对形变梯度进行SVD分解的复杂操作, 利用形变梯度的3个各向同性的不变量(isotropic invariants)表示能量.3个不变量利用形变梯度表示为
利用各向同性本构模型的不变量表示的NeoHookean本构模型的弹性能量表示为
与各向同性材料相比, 各向异性材料是更为复杂的材质模型, 对各向异性材料的设计和应用有很多研究工作[
在工程领域, 正交材料的9个独立的正交参数都是通过实际的物质测量获得的.在图形学领域, Li和Barbič等人[
利用第1.1节的线性弹性模型, 如公式(1)~公式(3) 中, 将张量表示为向量形式, 分量11, 22, 33是正分量(或法向分量normal components), 12, 23, 31是剪切分量(shear components)(为前后文一致, 这里的弹性张量依然用
与各向同性的材料中只有2个参数的杨氏模量和泊松比不同, 正交材料有3个不同的杨氏模量
Li等人通过一定的约束和假设条件, 提供了9个独立分量的计算方式.在随后的研究中, 他们把对正交材料调整参数的方法推广到更加一般化的各向异性材料[
横向各向同性材料实质上是一种特殊的正交材料, 当3个正交方向中的两个刚性系数相同时, 即为横向各向同性材料.对于这种材料, 材料的一个平面方向是各向同性的, 这种材料的弹性张量有5个独立分量.
横向各向同性材料最早由Bonet等人[
在调整各向异性材料的仿真方法中, 有一类称为应变约束方法, 其最早应用于基于质点弹簧系统模型的布料仿真[
利用有限元方法并以四面体网格作为形变体的离散化方式的计算应变约束方法中, 针对线性的材质模型, 应力张量在每个四面体单元内是常量.根据Hernandez等人[
其中,
针对各向同性的形变材料, Wang等人[
相对于各向同性的材料, 各向异性的材料模型的应变约束复杂得多.Picinbono等人[
通过上述材质的分析及现有成果, 可以总结出一些均质材质的特点和主要研究方向.
(1) 线性模型非常简单, 但不能模拟复杂形变.在此基础上的共旋的线性模型虽然一定程度上改善了旋转问题, 但对于复杂的非线性形变不能有效地模拟.以StVK材质为代表的几何非线性模型虽然不完全是非线性模型, 但在图形学的仿真模拟中仍然应用广泛.尤其是随着Barbič等人[
(2) 单一的各向同性材质的模拟从效果上具有一定的局限性, 模拟各向异性材料, 并且是各个方向上形变不同的一般化的各向异性的材质具有一定的难度, 但同时也是未来的研究趋势.
前文中提到的各种材质是从微观描述材料属性, 但在现实生活中, 大多数材质表现的是宏观属性, 如由多种物质构成的复合材料, 即, 非均质材质.相对于均质材质, 非均质材质在CAD、CAE和CAM等领域具有更大的研究价值, 在几何建模方法以及复杂的材质属性分配策略方面已经取得了很多研究成果[
(1) 均质化方法.高效的模拟复杂材质的形变行为是基于物理的仿真方法追求的目标, 为提高仿真效率, 现有的研究包括利用内嵌网格的方式、降维的方法、基于几何的形状匹配的方法等.利用降维仿真或者基于几何的全局形状匹配的方式, 虽然能够提高效率, 但无法捕捉局部的细节信息, 因此在模拟非均质材质的仿真时, 比较重要的思路是:采用低分辨率的模型代替高分辨率模型提高仿真速度的同时, 尽可能保证高分辨率的非均质材质的形变特征;
(2) 材质细分方法.对于一个给定的非均质的仿真模型, 要表现模型宏观的材质特征, 模拟计算的思路是:尽可能将不同材质进行分离, 使得计算单元内部只包含单一的均质材质, 或者在计算过程中能够体现材质的属性等方法;
(3) 数据驱动方法.第3种研究方法基于数据驱动的方式, 通过给定的一组数据或目标形变, 利用优化求解的方式获得模型的材质属性.
在模型离散化过程中, 利用高分辨率的模型模拟非均质材质更能体现材质的形变细节, 但仿真效率低, 利用粗糙的模型代替高分辨率模型提高仿真效率并保持材质特征, 是研究的重点.针对有限元线弹性模型, Nesme等人[
均质化理论[
协调位移示意图[
Schematic diagram of harmonic displacements[
具体地, 对于一个高分辨率网格
求解的物理量是粗糙单元的弹性张量, 根据其对称性分析, 具有21项独立分量.这个方法提供了很好的构建低分辨率网格非均质材质的方式.但该方法利用的位移是比较简单的线性形变, 并且计算能量的应力应变关系是线性关系, 使得仿真方法具有一定的局限性.2014年, Torres等人[
在粗糙网格模拟非均质材质的形变体仿真方法中, 当同一网格内部存在多种材质时, 按照传统方式不易区分, 如何有效分离不同材质的求解过程, 是需要考虑的主要问题.2009年, Nesme等人[
借鉴于Kharevych等人[
给定非均质模型生成3D打印模型[
3D printing object generation result with the target heterogeneous model[
Zhao等人[
此外, 利用粗糙的网格模拟多种材质的仿真方法中, 还包括一类方法在粗糙网格内部区分材质, 思路是将材质属性作为传统的基于位置的形函数的一部分模拟非均质材质的仿真方法.典型的代表是Faure等人[
无网格方法模拟非均质材质的T骨牛排[
Simulation of the heterogeneous material T-bone steak with meshless method[
针对非线性材质模型, Bickel等人[
对非线性准静态形变体形变的获取和建模[
Acqiring and modeling non-linear quasi-static soft tissue behavior[
从材质设计的角度来说, 要想设计一套符合运动规律及理想的非均质材质模型, 在材质设计过程中, 每次改变模型的材质属性, 都需要长时间的预处理过程才能获得对应的非均质粗糙单元的材质.如果所设计的形变不满足设计师要求, 这个处理过程需要不断重复, 非常耗时.针对这种设计缺陷, Chen等人[
综合现有的非均质材质的研究, 从方法和效果来看, 今后的研究思路可以总结为以下几点.
(1) 虽然提高网格分辨率, 利用更精细的模型仿真, 可以获得更加准确的非均质材质的仿真结果, 但仿真效率受到很大影响, 因此, 未来的趋势还是探讨如何利用粗糙的分辨率模型更准确地模拟非均质材质的形变效果;
(2) 在有限元仿真方法中, 大多利用四面体单元或者六面体单元进行离散化, 从模型的粗糙化角度来说, 规则的六面体单元相对于四面体单元具有天然的优势, 粗糙模型与精细模型之间可以获得更加精准的对应关系, 避免四面体模型在两种分辨率下边界无法对应的问题;
(3) 针对应力应变之间的关系, 虽然线性关系处理比较简单, 但其无法处理更加复杂的形变行为, 因此, 非线性的形变关系是发展的必然趋势.
随着3D打印技术、VR技术、计算机动画的发展, 传统的材质模型已经不满足需求, 在实际应用中, 设计师往往需要更复杂的材质模型描述形变.因此, 在图形学领域, 出现了关于编辑和设计形变体材质的研究.其中, 一类针对材质属性直接调整参数的方式设计新材质; 另外一类不调整材质参数, 而是通过给定一个仿真目标或嵌入式结构改变形变方式, 展现丰富的动画效果.
最初的材质属性是通过测量真实物体的物质属性获得的, 主要参数包括杨氏模量或泊松比[
2015年, Xu等人[
能量密度函数表示为
其中,
其他分量的导数类似求得, 通过在一定的约束下调整
其中,
球模型通过参数曲线获得的不同的拉伸压缩效果[
Stretch and compression effects with different parameter curves of the sphere model[
前文所述的通过施加力和位移的方式获得物质参数的方式, 忽略了一个问题, 就是所施加的力并不是守恒的.2016年, Miguel等人[
随着3D打印机的诞生以及打印材料类型的增多, 人们希望能够打印出更符合实际需求的具有复杂外观、表面光学特征及力学特性的物体.这一需求催生了3D打印中的一个重要问题:如何确定一个物体对象的材料组成, 使其满足给定的表面外观效果或变形的功能要求[
针对3D打印技术的材料设计问题, 利用被称为逆均质化(inverse homogenization)的方法将多个基础的微结构组合成符合模型整体形变特征的过程.针对基础微结构的设计已经取得一些进展, 包括弯曲的板型结构、球状的薄壳体、刚体单元等.利用这些基础微结构的拓扑优化问题, 为材质的设计提供了更加多样化的选择空间, 但同时也引入了如计算开销过大等问题.Rodrigues等人[
单一打印材料的形变行为是有限的, 如何从基础材料设计出更加符合实际需求的复合材料, 是非常有意义的工作, Bickel等人[
形变体材料设计过程示意图[
Schematic diagram of the deformable materials design process[
从均质化的角度讲, 他们的方法是对Kharevych等人[
Schumacher等人[
不同物质属性与微观结构对应关系示意图[
Schematic diagram of the releationship between the material properties and the microsturcture[
相对于Bickel等人的研究需要指定一系列的基础材料, 并逐层按照目标形状拟合的方法, Schumacher等人的方法无需指定基础材料, 自动计算精细单元的结构, 并且从效率上可以计算数千层(或单元), 只需要秒级别的时间, 计算效率远远高于前者.同年, 针对3D打印技术中物体的材质问题, Panetta等人[
针对多材料打印问题, Vidimče等人[
前文所述的传统仿真方法中, 一旦仿真物体的材料模型确定, 它的形变行为也随即确定.即便通过调整应力应变曲线能够获得更加丰富的材质属性, 但其形变方式符合应变曲线规律, 获得的动画效果有限.事实上, 除了通过直观地调节物质参数或优化微观结构改变形变体的运动方式外, 还有一类设计方法通过调整物质的形变行为展现更加丰富的动画效果, 如基于样例材料的仿真.从仿真物体角度考虑, 基于样例的材料仿真包括针对三维固体形变体、薄壳体[
2011年, Martin等人[
其中,
该方法利用格林应变作为样例描述符, 假设给定的样例由
在仿真过程中, 通过定义弹性势能, 在样例空间中找到符合真实且距离物体当前状态弹性势能最小的一个状态, 将物体从当前状态投影到样例空间中.假设当前形变状态
其中, 约束项是为了满足得到的
汽车模型在不同样例作用下的仿真结果[
Simulation effects of car model with different examples[
这种基于样例的方法能够得到与给定的目标样例很接近的弹性形变, 而且物体在形变过程中运动比较真实自然.但由于在样例空间中寻找符合真实的插值形状时需要求解一个非线性的优化问题, 因此该方法的计算开销比较大.效率问题是基于样例材料仿真方法面临的一个主要问题, 为缓解这个问题, Schumacher等人[
为提高基于样例材料的仿真效率, Koyama等人[
传统的基于样例的仿真方法, 样例与形变物体通常采用同样的拓扑结构, 这使得形变材料的设计不够灵活.而突破拓扑结构的问题, 最大的挑战在于找到一种描述方式, 使不同的模型在同一个空间下表示.为解决这个问题, Zhu等人[
Laplace-Beltrami形状空间中仿真过程示意图[
Overview of run-time operations in Laplace-Beltrami shape space[
对样例流形上的形状, 定义其相对于所有样例的形变能量的加权之和, 用于指导目标形状
其中,
如
armadillo模型在不同样例指导下的仿真结果[
Simulation results of the armadillo models with the guide of different examples[
除了基于样例的仿真, 还有类似的方法也达到了设计形变体形变行为的目的.Tan等人[
时空约束方法也是一种比较经典的控制物体运动的方法, 该方法将物体的整个运动过程转化为一个受约束的优化问题, 物体运动遵循的物理规律及设计者给定的目标作为与时间空间相关的约束, 在最小化特定的目标函数后, 获得物体在整个时间段的运动状态.该方法能够获得既符合物理真实又符合设计要求的材质运动效果, 但由于求解的是一个时间空间都相关的优化问题, 因此计算开销大.Barbič等人[
综上所述, 无论是编辑材质还是编辑形变行为, 本质上都是解决单纯依靠给定模型材质参数的调整无法模拟的形变效果, 丰富了形变体仿真的思路, 为虚拟仿真及动画模拟提供了一种新的方向.从现有的方法来看:
(1) 所有的编辑工作大体思路都是以传统材质模型为基础的一定程度的扩展和修正, 研究方向都是从各向同性的材质编辑到更加复杂和一般化的各向异性的材质编辑.从仿真方法而言, 现有研究采用有限元方法较多, 也包含一些无网格方法、形状匹配方法等.因此, 扩展仿真方法所适用的材质范围是可以研究的方向;
(2) 针对编辑形变方法的基于样例形变材料仿真中, 大多数的研究都包含了针对不同局部区域的形变方式, 使得同一个模型可以分区域按照不同的样例引导形变, 既有利于算法并行效率的提升, 又可以丰富形变体形变效果, 也是对非均质材质形变效果的扩展;
(3) 对材质形变效率的研究也是编辑工作的研究方向之一, 无论是根据应力应变曲线还是形变行为的引导, 都希望能获得交互级别甚至是实时的仿真效率.目前的研究方法中, 也针对效率的提升做出了一些探索, 多采用降维的方式或者降低网格分辨率的方式, 两种方法各有优缺点:降维仿真方法的形变基底在仿真过程中是不变的, 不利于模拟拓扑结构发生变化的碎裂等仿真现象, 并且降维方法也会丢失细节; 而降低分辨率的方式模拟材质一定程度上需要材质的近似计算, 模拟结果不够准确.因此, 从效率出发, 还有很多研究工作值得探讨.
针对前文所述不同的材质模型和仿真方法,
不同材质仿真参数对比
Simulation parameter comparisons of different materials
分类 | 文献 | 三维模型几何表示 | 仿真方法 | 积分器 | 材质 | 效率 | 仿真对象 |
各向异性材质 | [ |
四面体 | 有限元法 | - | 线性正交材料线性各向异性材料 | 离线 | 固体 |
[ |
六面体 | 有限元法 | 显式Leap-Frog | 横向各向同性材料 | - | 固体 | |
[ |
四面体 | 有限元法 | 显式积分 | 横向各向同性材料 | 实时 | 固体 | |
[ |
四面体 | 质点弹簧 | 显式积分 | 各向异性应变约束 | 实时 | 2D布料3D固体 | |
[ |
四面体 | 有限元法 | 隐式欧拉 | 共旋线性材料各向异性应变约束 | 离线 | 固体 | |
[ |
四面体 | 有限元法 | 隐式积分 | 几何非线性材料各向同性应变约束 | 实时 | 2D布料3D固体 | |
非均质材质 | [ |
六面体(任意分辨率) | 有限元法 | 隐式欧拉 | 各向同性共旋线性 | 实时 | 3D固体2D表面1D线 |
[ |
四面体 | 有限元法 | - | 线性、各向异性 | - | 固体 | |
[ |
四面体 | 有限元法 | - | 共旋线性 | 实时 | 固体 | |
[ |
六面体 | 有限元法 | 隐式欧拉 | 线性 | 交互 | 固体 | |
[ |
体素化单元 | 有限元法 | - | 线性(各向同性、各向异性) | 离线/实时 | 2D/3D结构单元 | |
[ |
粒子 | 物质点法 | 隐式 | 非线性 | 离线 | 固体 | |
[ |
粒子 | 无网格法 | 隐式+准静态仿真 | 线性 | 实时 | 固体 | |
[ |
四面体 | 有限元法 | 准静态仿真 | 非线性 | 离线 | 固体 | |
[ |
六面体(自适应体素化网格) | 有限元法 | 准静态仿真 | 非线性 | 离线 | 固体 | |
设计材质 | [ |
四面体 | 有限元法 | 隐式积分 | 非线性(各向同性、正交各向异性) | 实时 | 固体 |
[ |
四/六面体 | 有限元法 | 显式有限差分 | 非线性 | 离线 | 2D布料3D固体 | |
[ |
四面体网格 | 有限元法 | - | 非线性材质 | - | 2D/3D | |
[ |
四面体 | 有限元法 | 准静态仿真 | 非线性 | 离线 | 固体 | |
[ |
四面体 | 有限元法 | 隐式积分 | 非均质非线性 | 实时 | 固体 | |
[ |
四面体网格 | 有限元法 | - | 线性(正交各向异性) | - | 3D结构单元 | |
[ |
四面体 | 有限元法 | 隐式欧拉 | - | 离线 | 2D薄壳3D固体 | |
[ |
四面体 | 有限元法 | 隐式欧拉 | 可翻转的StVK | 离线 | 固体 | |
[ |
四面体 | 有限元法 | - | - | 实时 | 固体 | |
[ |
四面体 | 有限元法 | 隐式+半隐式 | StVK | 实时 | 固体 | |
[ |
四面体 | 有限元法 | 隐式 | 可翻转的StVK | 离线 | 固体 | |
[ |
四面体 | 有限元法 | 隐式 | - | 离线 | 固体 | |
[ |
四面体 | 有限元法 | 隐式欧拉 | - | 离线 | 2D绳子/薄壳3D固体 | |
[ |
粒子 | 无网格 | 显式Leap-Frog | - | 实时 | 2D薄壳3D固体 | |
[ |
四面体 | 有限元法质点弹簧 | 隐式Newmark | 几何非线性材料 | 离线 | 固体 |
针对表中所列出的各类研究方法, 我们总结出关于材质发展和研究领域的一个整体脉络.
(1) 针对表中未列出的基本材质模型, 最初采用最简单的线性模型, 但由于其只能处理小形变, 能模拟的形变效果有限.之后提出的共旋的线性模型[
(2) 传统的均质材质虽然可以利用各向异性材质在不同方向上模拟不同的形变, 但无法表现复合材料的形变特征.目前, 从非均质材质的离散化方法, 如有限元方法[
(3) Martin等人[
(4) 基于样例的弹性材料虽然可以获得非常多样化的形变效果, 但多数用于虚拟形变的动画, 这种调节材质的方式很难将样例材料与物理真实材料相对应.随着3D打印机的出现, 使得材质设计已经从虚拟仿真走向真实的应用场景, 并衍生出很多几何设计构造方面的研究问题, 包括几何优化、结构分析、表面材料效果定制、机构设计、自支撑结构设计、内部结构设计等[
(5) 对于各向异性材质、非均质材质、编辑材质等复杂结构, 是从材质模型角度分析, 从宏观上来说具有复杂的结构特征, 但从微观上来说, 在离散化表示的单元内部, 其应力应变关系可以用线性表示, 也可以是非线性的.
本文尝试从动画模拟领域中形变体的本构关系角度, 总结目前仿真中通常采用的均质材质、非均质材质以及更具灵活性的编辑材质.针对形变体材质模型在各个领域的应用, 归纳以下几点材质设计和研究方面需要进一步考虑的问题和未来可能的研究方向.
(1) 真实物体和虚拟物体设计.针对计算机动画、电影、游戏等领域, 需要比较夸张的形变行为, 对应的形变模型是虚拟的, 其运动与真实世界可能存在差异; 而对于3D打印产业来说, 则需要设计合理的具有复杂结构的真实的材质模型.因此, 从材质设计角度而言, 设计虚拟的材料以及真实的材料都具有重要的意义;
(2) 从扩展材质的角度而言, 材质的设计和编辑工作将是未来最主要的研究方向; 而对于编辑材质的稳定性研究、材质的属性编辑范围以及对效果的定性和定量分析还存在一定的难度, 如何获得更稳定的材质模型是未来研究的重点;
(3) 时间效率.基于物理的仿真方法中, 时间效率是不容忽视的因素, 在高逼真动画效果与时间效率二者之间追求平衡, 是各个应用领域需要考虑的重要问题.如何高效地获得满足设计师动画需求的材质, 是未来材质编辑工作面临的挑战.对于形变体仿真而言, 为获得满意的动画效果, 调整参数繁琐而耗时.目前, 已经有一些研究工作是利用数据驱动的方式构建数据库或者采用交互地调整参数方式直观地获得材质模型, 在效率上已经有了大幅度改进.随着机器学习领域的深入研究, 借鉴其研究思路也会给形变体的材质设计带来新的研究方向.
Nealen A, Müller M, Keiser R, Boxerman E, Carlson M. Physically based deformable models in computer graphics. Computer Graphics Forum, 2006, 25(4):809-836.[doi:10.1111/j.1467-8659.2006.01000.x]
10.1145/2343483.2343501]]]>
10.1145/545261.545269]]]>
Müller M, Gross M. Interactive virtual materials. In:Proc. of the Graphics Interface. Waterloo:Canadian Human-Computer Communications Society School of Computer Science, University of Waterloo, 2004. 239-246.
10.2312/PE/vriphys/vriphys08/011-019]]]>
10.1145/1599470.1599492]]]>
Chao I, Pinkall U, Sanan P, Schröder P. A simple geometric model for elastic deformations. ACM Trans. on Graphics, 2010, 29(4):157-166.[doi:10.1145/1778765.1778775]
Mcadams A, Zhu Y, Selle A, Empey M. Efficient elasticity for character skinning with contact and collisions. ACM Trans. on Graphics, 2011, 30(4):76-79.[doi:10.1145/2010324.1964932]
Civit-Flores O, Susín A. Robust treatment of degenerate elements in interactive corotational FEM simulations. Computer Graphics Forum, 2014, 33(6):298-309.[doi:10.1111/cgf.12351]
O'Brien JF, Bargteil AW, Hodgins JK. Graphical modeling and animation of brittle fracture. ACM Trans. on Graphics, 2002, 21(3):291-294.[doi:10.1145/311535.311550]
Capell S, Green S, Curless B, Duchamp T, Popović Z. Interactive skeleton-driven dynamic deformations. ACM Trans. on Graphics, 2002, 21(3):586-593.[doi:10.1145/566570.566622]
Chaves EWV. Notes on Continuum Mechanics. Springer-Verlag, 2013.[doi:10.1007/978-94-007-5986-2]
10.1109/CGI.2004.1309227]]]>
Teschner M, Heidelberger B, Müller M, Gross M. A versatile and robust model for geometrically complex deformable solids. In:Proc. of the Computer Graphics Int'l. Los Alamitos:IEEE Computer Society Press, 2004. 312-319.
10.1145/1028523.1028541]]]>
Irving G, Teran J, Fedkiw R. Tetrahedral and hexahedral invertible finite elements. Graphical Models, 2006, 68(2):66-89.[doi:10.1016/j.gmod.2005.03.007]
10.1145/1073368.1073394]]]>
Stomakhin A, Howes R, Schroeder C, Terran J. Energetically consistent invertible elasticity. In:Proc. of the ACM SIGGRAPH/Eurographics Conf. on Computer Animation. Aire-la-Ville:Eurographics Association Press, 2012. 25-32.
Bower AF. Applied Mechanics of Solids. CRC Press, 2009.
10.1109/PCCGA.2003.1238266]]]>
10.1145/2037715.2037726]]]>
Garg A, Grinspun E, Wardetzky M, Zorin D. Cubic shells. In:Proc. of the ACM SIGGRAPH/Eurographics Symp. on Computer Animation. Aire-la-Ville:Eurographics Association Press, 2007. 91-98.
Thomaszewski B, Pabst S, Straßer W. Continuum-Based strain limiting. Computer Graphics Forum, 2009, 28(2):569-576.[doi:10.1111/j.1467-8659.2009.01397.x]
Wang H, O'Brien JF, Ramamoorthi R. Data-Driven elastic models for cloth:Modeling and Measurement. ACM Trans. on Graphics, 2011, 30(4):76-79.[doi:10.1145/1964921.1964966]
Allard J, Marchal M, Cotin S. Fiber-Based fracture model for simulating soft tissue tearing. Studies in Health Technology and Informatics, 2009, 142(142):13-18.[doi:10.3233/978-1-58603-964-6-13]
Li Y, Barbič J. Stable orthotropic materials. In:Proc. of the ACM SIGGRAPH/Eurographics Symp. on Computer Animation. Aire-la-Ville Eurographics Association Press, 2014. 41-46.
Li Y, Barbič J. Stable anisotropic materials. IEEE Trans. on Visualization & Computer Graphics, 2015, 21(10):1129-1137.[doi:10.1109/TVCG.2015.2448105]
Bonet J, Burton AJ. A simple orthotropic, transversely isotropic hyperelastic constitutive equation for large strain computations. Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering, 1998, 162(1-4):151-164.[doi:10.1016/S0045-7825(97)00339-3]
10.1109/ROBOT.2000.844118]]]>
Picinbono G, Delingette H, Ayache N. Non-Linear anisotropic elasticity for real-time surgery simulation. Graphical Models, 2003, 65(5):305-321.[doi:10.1016/S1524-0703(03)00045-6]
Liao SH, Tong RF, Dong JX. Anisotropic finite element modeling for patient-specific mandible. Computer Methods & Programs in Biomedicine, 2007, 88(3):197-209.[doi:10.1016/j.cmpb.2007.09.009]
10.1007/3-540-45468-3_27]]]>
Sermesant M, Delingette H, Ayache N. An electromechanical model of the heart for image analysis and simulation. IEEE Trans. on Medical Imaging, 2006, 25(5):612-25.[doi:10.1109/TMI.2006.872746]
Talbot H, Marchesseau S, Duriez C, Sermesant M, Cotin S, Delingette H. Towards an interactive electromechanical model of the heart. Interface Focus A Theme Supplement of Journal of the Royal Society Interface, 2013, 3(2):20120091-20120091.[doi:10.1098/rsfs.2012.0091]
10.1007/978-3-540-70521-5_4]]]>
Teran J, Sifakis E, Blemker S, Ngthowhing V, Lau C, Fedkiw R. Creating and simulating skeletal muscle from the visible human data set. IEEE Trans. on Visualization & Computer Graphics, 2005, 11(3):317-328.[doi:10.1109/TVCG.2005.42]
Sifakis E, Neverov I, Fedkiw R. Automatic determination of facial muscle activations from sparse motion capture marker data. ACM Trans. on Graphics, 2005, 24(3):417-425.[doi:10.1145/1073204.1073208]
Provot X. Deformation constraints in a mass-spring model to describe rigid cloth behavior. In:Proc. of the Graphics Interface. Toronto:Canadian Information Processing Society, 1995. 147-154.
Bridson R, Marino S, Fedkiw R. Simulation of clothing with folds and wrinkles. In:Proc. of the ACM SIGGRAPH/Eurographics Symp. on Computer Animation. Aire-la-Ville:Eurographics Association Press, 2003. 28-36.
Desbrun M, Schröder P, Barr A. Interactive animation of structured deformable objects. In:Proc. of the Graphics Interface. San Francisco:Morgan Kaufmann Publishers Inc., 1999. 1-8.
Müller M. Hierarchical position based dynamics. In:Proc. of the Workshop on Virtual Reality Interactions and Physical Simulations. Aire-la-Ville:Eurographics Association Press, 2008. 1-10.
Thomaszewski B, Pabst S, Straßer W. Continuum-Based strain limiting. Computer Graphics Forum, 2009, 28(2):569-576.[doi:10.1111/j.1467-8659.2009.01397.x]
Hernandez F, Cirio G, Perez AG, Otaduy MA. Anisotropic strain limiting. In:Proc. of the Congreso Español de Informática Gráfica. 2013. 1-7.
Wang H, O'Brien J, Ramamoorthi R. Multi-Resolution isotropic strain limiting. ACM Trans. on Graphics, 2010, 29(6):81-95.[doi:10.1145/1866158.1866182]
Picinbono G, Delingette H, Ayache N. Non-Linear anisotropic elasticity for real-time surgery simulation. Graphical Models, 2003, 65(5):305-321.[doi:10.1016/S1524-0703(03)00045-6]
Barbič J, Jerne J, James DL. Real-Time subspace integration for St. Venant-Kirchhoff deformable models. ACM Trans. on Graphics, 2005, 24(3):982-990.[doi:10.1145/1073204.1073300]
An SS, Kim T, James DL. Optimizing cubature for efficient integration of subspace deformations. ACM Trans. on Graphics, 2009, 27(5):32-39.[doi:10.1145/1409060.1409118]
Kou XY, Tan ST, Sze WS. Modeling complex heterogeneous objects with non-manifold heterogeneous cells. Computer-Aided Design, 2006, 38(5):457-474.[doi:10.1016/j.cad.2005.11.009]
10.1115/IMECE2013-65724]]]>
10.2312/PE/vriphys/vriphys06/017-024]]]>
Hashin Z, Shtrikman S. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1962, 33(10):3125-3131.[doi:10.1016/0022-5096(63)90060-7]
10.1007/978-3-642-84659-5]]]>
Gloria A. Numerical homogenization:Survey, new results, and perspectives. Esaim Proceedings, 2012, 37(3):50-116.[doi:10.1051/proc/201237002]
Kharevych L, Mullen P, Owhadi H, Desbrun M. Numerical coarsening of inhomogeneous elastic materials. ACM Trans. on Graphics, 2009, 28(3):51.[doi:10.1145/1576246.1531357]
10.1007/978-3-319-12057-7_15]]]>
Nesme M, Kry PG, Jeřábková L, Faure F. Preserving topology and elasticity for embedded deformable models. ACM Trans. on Graphics, 2009, 28(3):341-352.[doi:10.1145/1576246.1531358]
Schumacher C, Bickel B, Rys J, Marschner S, Daraio C, Gross M. Microstructures to control elasticity in 3D printing. ACM Trans. on Graphics, 2015, 34(4):136.[doi:10.1145/2766926]
http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.1826.TP.20170320.2149.002.html ]]>
http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.1826.TP.20170320.2149.002.html]]>
Faure F, Gilles B, Bousquet G, Pai DK. Sparse meshless models of complex deformable solids. ACM Trans. on Graphics, 2011, 30(4):76-79.[doi:10.1145/1964921.1964968]
Bickel B, Bächer M, Otaduy MA, Matusik W, Pfister H, Gross M. Capture and modeling of non-linear heterogeneous soft tissue. ACM Trans. on Graphics, 2009, 28(3):89.[doi:10.1145/1576246.1531395]
Chen D, Levin DIW, Sueda S, Matusik W. Data-Driven finite elements for geometry and material design. ACM Trans. on Graphics, 2015, 34(4):74:1-74:10.[doi:10.1145/2766889]
Becker M, Teschner M. Robust and efficient estimation of elasticity parameters using the linear finite element method. In:Proc. of the Simulation Und Visualisierung. DBLP, 2007. 15-28.
Lee HP, Lin MC. Fast optimization-based elasticity parameter estimation using reduced models. The Visual Computer, 2012, 28(6):553-562.[doi:10.1007/s00371-012-0686-z]
Kauer M, Vuskovic V, Dual J, Szekely G, Bajka M. Inverse finite element characterization of soft tissues. Medical Image Analysis, 2002, 6(3):275-287.[doi:10.1016/S1361-8415(02)00085-3]
10.1109/COASE.2009.5234158]]]>
Kajberg J, Lindkvist G. Characterisation of materials subjected to large strains by inverse modelling based on in-plane displacement fields. Int'l Journal of Solids & Structures, 2004, 41(13):3439-3459.[doi:10.1016/j.ijsolstr.2004.02.021]
Wang H, O'Brien JF, Ramamoorthi R. Data-Driven elastic models for cloth:modeling and measurement. ACM Trans. on Graphics, 2011, 30(4):76-79.[doi:10.1145/2010324.1964966]
Xu H, Sin F, Zhu Y, Barbič J. Nonlinear material design using principal stretches. ACM Trans. on Graphics, 2015, 34(4):75:1-75:11.[doi:10.1145/2766917]
Sussman T, Bathe KJ. A model of incompressible isotropic hyperelastic material behavior using spline interpolations of tension-Compression test data. Communications in Numerical Methods in Engineering, 2010, 25(1):53-63.[doi:10.1002/cnm.1105]
Miguel E, Miraut D, Otaduy MA. Modeling and estimation of energy-based hyperelastic objects. Computer Graphics Forum, 2016, 35(2):385-396.[doi:10.1111/cgf.12840]
Liu LG, Xu WP, Wang WM, Yang ZW, Liu XP. Survey on geometric computing in 3D printing. Chinese Journal of Cmputers, 2015, 38(6):1243-1267(in Chinese with English abstract).[doi:10.11897/SP.J.1016.2015.01243]
刘利刚, 徐文鹏, 王伟明, 杨周旺, 刘秀平.3D打印中的几何计算研究进展.计算机学报, 2015, 38(6):1243-1267.[doi:10.11897/SP.J. 1016.2015.01243]
Nakasone PH, Silva ECN. Dynamic design of piezoelectric laminated sensors and actuators using topology optimization. Journal of Intelligent Material Systems & Structures, 2010, 21(16):1627-1652.[doi:10.1177/1045389X10386130]
Prévost R, Whiting E, Lefebvre S, Sorkine-Hornumg O. Make it stand:Balancing shapes for 3D fabrication. ACM Trans. on Graphics, 2013, 32(4):1-10.[doi:10.1145/2461912.2461957]
Bächer M, Bickel B, James DL, Pfister H. Fabricating articulated characters from skinned meshes. ACM Trans. on Graphics, 2012, 31(4):1-9.[doi:10.1145/2185520.2185543]
Skouras M, Thomaszewski B, Bickel B, Gross M. Computational design of rubber balloons. Computer Graphics Forum, 2012, 31(2):835-844.[doi:10.1111/j.1467-8659.2012.03064.x]
Chen X, Zheng C, Xu W, Zhou K. An asymptotic numerical method for inverse elastic shape design. ACM Trans. on Graphics, 2014, 33(4):95.[doi:10.1145/2601097.2601189]
Rodrigues H, Guedes JM, Bendsoe MP. Hierarchical optimization of material and structure. Structural & Multidisciplinary Optimization, 2002, 24(1):1-10.[doi:10.1007/s00158-002-0209-z]
Coelho PG, Fernandes PR, Guedes JM, Rodrigues HC. A hierarchical model for concurrent material and topology optimisation of three-dimensional structures. Structural & Multidisciplinary Optimization, 2008, 35(2):107-115.[doi:10.1007/s00158-007-0141-3]
Zhou S, Li Q. Design of graded two-phase microstructures for tailored elasticity gradients. Journal of Materials Science, 2008, 43(15):5157-5167.[doi:10.1007/s10853-008-2722-y]
Bickel B, Cher M, Otaduy MA, Lee HR. Design and fabrication of materials with desired deformation behavior. ACM Trans. on Graphics, 2010, 29(4):157-166.[doi:10.1145/1833349.1778800]
Xu H, Li Y, Chen Y, Barbič J. Interactive material design using model reduction. ACM Trans. on Graphics, 2015, 34(2):1-14.[doi:10.1145/2699648]
Panetta J, Zhou Q, Malomo L, Pietroni N, Cignoni P, Zorin D. Elastic textures for additive fabrication. ACM Trans. on Graphics, 2015, 34(4):135.[doi:10.1145/2766937]
Vidimče K, Wang SP, Ragan-Kelly J, Matusik W. OpenFab:A programmable pipeline for multi-material fabrication. ACM Trans. on Graphics, 2013, 32(4):136.[doi:10.1145/2461912.2461993]
Chen D, Levin DIW, Didyk P, Sitthi-Amorn P, Matusik W. Spec2Fab:A reducer-tuner model for translating specifications to 3D prints. ACM Trans. on Graphics, 2013, 32(4):135.[doi:10.1145/2461912.2461994]
Skouras M, Thomaszewski B, Coros S, Bickel B, Gross M. Computational design of actuated deformable characters. ACM Trans. on Graphics, 2013, 32(4):1-10.[doi:10.1145/2461912.2461979]
Fröhlich S, Botsch M. Example-Driven deformations based on discrete shells. Computer Graphics Forum, 2011, 30(8):2246-2257.[doi:10.1111/j.1467-8659.2011.01974.x]
Jones B, Thuerey N, Shinar T, Bargteil AW. Example-Based plastic deformation of rigid bodies. ACM Trans. on Graphics, 2016, 35(4):1-11.[doi:10.1145/2897824.2925979]
Schvartzman SC, Otaduy MA. Physics-Aware voronoi fracture with Example-based acceleration. Journal of Computer Graphics Techniques, 2014, 3(3):35-54.
Martin S, Thomaszewski B, Grinspun E, Gross M. Example-Based elastic materials. ACM Trans. on Graphics, 2011, 30(4):76-79.[doi:10.1145/1964921.1964967]
Schumacher C, Thomaszewski B, Coros S, Martin S, Sumner R, Gross M. Efficient simulation of example-based materials. In:Proc. of the ACM SIGGRAPH/Eurographics Symp. on Computer Animation. Aire-la-Ville:Eurographics Association, 2012. 1-8.
10.2312/SCA/SCA12/019-024]]]>
Zhang W, Zheng J, Thalmann NM. Real-Time subspace integration for example-based elastic material. Computer Graphics Forum, 2015, 34(2):395-404.[doi:10.1111/cgf.12569]
Zhu F, Li S, Wang G. Example-Based materials in Laplace-Beltrami shape space. Computer Graphics Forum, 2015, 34(1):36-46.[doi:10.1111/cgf.12457]
Tan J, Turk G, Liu CK. Soft body locomotion. ACM Trans. on Graphics, 2012, 31(4):13-15.[doi:10.1145/2185520.2185522]
Coros S, Martin S, Thomaszewski B, Schumacher C, Sumner R, Gross M. Deformable objects alive. ACM Trans. on Graphics, 2012, 31(4):13-15.[doi:10.1145/2185520.2185565]
Liu N, He X, Ren Y, Li S, Wang G. Physical material editing with structure embedding for animated solid. In:Proc. of the Graphics Interface. Mississauga:Canadian Information Processing Society, 2012. 193-200.
Barbič J, Silva MD, Popvić J. Deformable object animation using reduced optimal control. ACM Trans. on Graphics, 2009, 28(3):341-352.[doi:10.1145/1531326.1531359]
Hildebrandt K, Schulz C, Tycowicz CV, Polthier K, Berlin FU. Interactive spacetime control of deformable objects. ACM Trans. on Graphics, 2012, 31(4):71:1-71:8.[doi:10.1145/2185520.2185567]